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L'oggetto geometrico più semplice nella libreria della geometria standard di Dynamo è un punto. Tutta la geometria viene creata utilizzando funzioni speciali denominate costruttori, i quali singolarmente restituiscono una nuova istanza di quel particolare tipo di geometria. In Dynamo, i costruttori iniziano con il nome del tipo di oggetto, in questo caso Point, seguito dal metodo di costruzione. Per creare un punto tridimensionale specificato dalle coordinate cartesiane x, y e z, utilizzare il costruttore ByCoordinates:
In Dynamo, i costruttori vengono in genere designati con il prefisso By e il richiamo di queste funzioni restituisce un oggetto appena creato di quel tipo. Questo oggetto appena creato viene memorizzato nella variabile indicata sul lato sinistro del segno di uguale.
La maggior parte degli oggetti ha molti differenti costruttori ed è possibile utilizzare il costruttore BySphericalCoordinates per creare un punto su una sfera, specificato dal raggio della sfera, un primo angolo di rotazione e un secondo angolo di rotazione (specificato in gradi):
I punti possono essere utilizzati per costruire la geometria dimensionale maggiore, come le linee. È possibile utilizzare il costruttore ByStartPointEndPoint per creare un oggetto Line tra due punti:
Analogamente, le linee possono essere utilizzate per creare la geometria di superfici dimensionale maggiore, ad esempio utilizzando il costruttore Loft, che utilizza una serie di linee o curve e interpola una superficie tra loro.
È possibile utilizzare anche superfici per creare la geometria di solidi dimensionale maggiore, ad esempio mediante l'ispessimento della superficie in base ad una distanza specificata. Molti oggetti hanno funzioni associate, denominate metodi, che consentono al programmatore di eseguire comandi su quel particolare oggetto. I metodi comuni a tutti gli elementi della geometria includono Translate e Rotate, che rispettivamente traslano (spostano) e ruotano la geometria di un valore specificato. Le superfici hanno un metodo Thicken, che acquisisce un singolo input, un numero che specifica il nuovo spessore della superficie.
I comandi Intersection consentono di estrarre la geometria dimensionale minore da oggetti dimensionali maggiori. Questa geometria dimensionale minore estratta può formare la base per la geometria dimensionale maggiore, in un processo ciclico di creazione, estrazione e ricreazione geometriche. In questo esempio, si utilizzerà il solido generato per creare una superficie e si utilizzerà la superficie per creare una curva.
In questa sezione, è disponibile una serie di lezioni sulla creazione della geometria con DesignScript. Seguire la procedura copiando l'esempio di DesignScript nei blocchi di codice di Dynamo.
Alcuni oggetti della geometria possono essere creati indicando in modo esplicito le coordinate x, y e z nello spazio tridimensionale. Più spesso, tuttavia, la geometria viene spostata nella sua posizione finale utilizzando le trasformazioni geometriche sull'oggetto stesso o sul relativo CoordinateSystem sottostante.
La trasformazione geometrica più semplice è una traslazione, che sposta un oggetto in base ad un numero specificato di unità nelle direzioni x, y e z.
Sebbene tutti gli oggetti in Dynamo possano essere convertiti aggiungendo il metodo .Translate alla fine del nome dell'oggetto, le trasformazioni più complesse richiedono la trasformazione dell'oggetto da un CoordinateSystem sottostante ad un nuovo CoordinateSystem. Ad esempio, per ruotare un oggetto di 45 gradi attorno all'asse x, è necessario trasformare l'oggetto dal CoordinateSystem esistente senza rotazione ad un CoordinateSystem che è stato ruotato di 45 gradi attorno all'asse x con il metodo .Transform:
Oltre a essere traslati e ruotati, è possibile creare anche CoordinateSystems messi in scala o tagliati. Un CoordinateSystem può essere messa in scala con il metodo .Scale:
I CoordinateSystems tagliati vengono creati mediante l'inserimento di vettori non ortogonali nel costruttore CoordinateSystem.
La messa in scala e il taglio sono trasformazioni geometriche relativamente più complesse rispetto alla rotazione e alla traslazione, pertanto non tutti gli oggetti di Dynamo possono essere sottoposti a queste trasformazioni. Nella seguente tabella sono riportati i contorni degli oggetti di Dynamo che possono presentare CoordinateSystem messi in scala in modo non uniforme e i CoordinateSystem tagliati.
In Dynamo vi sono due metodi fondamentali per creare curve di forma libera: la specifica di una raccolta di punti e l'impostazione del programma in modo che venga interpolata una curva levigata tra di essi oppure esiste un metodo di livello molto più basso, ossia specificare i punti di controllo sottostanti di una curva di un determinato grado. Le curve interpolate sono utili quando un progettista sa esattamente la forma che deve assumere una linea o se il progetto ha vincoli specifici per il punto in cui la curva può e non può attraversare. Le curve specificate tramite i punti di controllo sono essenzialmente una serie di segmenti di linee rette che un algoritmo leviga in una forma di curva finale. Specificare una curva tramite punti di controllo può essere utile per esplorare forme di curva con diversi gradi di levigatezza o quando è necessaria una continuità uniforme tra segmenti di curva.
Per creare una curva interpolata, è sufficiente trasferire una raccolta di punti al metodo NurbsCurve.ByPoints.
La curva generata interseca ciascuno dei punti di input, iniziando e terminando rispettivamente nel primo e nell'ultimo punto della raccolta. È possibile utilizzare un parametro periodico facoltativo per creare una curva periodica chiusa. Dynamo inserirà automaticamente il segmento mancante, pertanto non è necessario un punto finale duplicato (identico al punto iniziale).
Le NurbsCurve vengono generate in modo molto simile, con i punti di input che rappresentano i punti finali di un segmento di linea retta e un secondo parametro che specifica il livello e il tipo di levigatezza a cui è sottoposta la curva, denominati grado.* Una curva di grado 1 non ha alcuna levigatezza; è una polilinea.
Una curva di grado 2 viene levigata in modo che si intersechi ed è tangente al punto medio dei segmenti della polilinea:
Dynamo supporta curve NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) fino ad un massimo di 20 gradi. Nel seguente script è illustrato l'effetto che l'aumento dei livelli di levigatezza ha sulla forma di una curva:
Notare che è necessario disporre di almeno un altro punto di controllo rispetto al grado della curva.
Un altro vantaggio della costruzione delle curve tramite vertici di controllo è la possibilità di mantenere la tangenza tra singoli segmenti della curva. Per eseguire questa operazione, estrarre la direzione tra gli ultimi due punti di controllo e continuare in questa direzione con i primi due punti di controllo della curva seguente. Nel seguente esempio vengono create due curve NURBS separate, che sono tuttavia levigate come una curva:
*Questa è una descrizione molto semplificata della geometria della curva NURBS. Per una descrizione più accurata e dettagliata, vedere Pottmann, et al, 2007, nei riferimenti.
Gli oggetti nelle progettazioni computazionali raramente vengono creati esplicitamente nella loro posizione e nella loro forma finali e più spesso vengono traslati, ruotati e altrimenti posizionati in base alla geometria esistente. La matematica vettoriale serve come una sorta di impalcatura geometrica per dare direzione e orientamento alla geometria, nonché per concettualizzare i movimenti attraverso lo spazio 3D senza rappresentazione visiva.
Fondamentalmente, un vettore rappresenta una posizione nello spazio 3D e spesso viene considerato come il punto finale di una freccia dalla posizione (0, 0, 0) a quella posizione. I vettori possono essere creati con il costruttore ByCoordinates, utilizzando la posizione x, y e z dell'oggetto vettoriale appena creato. Notare che gli oggetti vettoriali non sono oggetti geometrici e non compaiono nella finestra di Dynamo. Tuttavia, le informazioni relative ad un vettore appena creato o modificato possono essere stampate nella finestra della console:
Un insieme di operazioni matematiche viene definito sugli oggetti vettoriali, consentendo di aggiungere, sottrarre, moltiplicare e altrimenti spostare oggetti nello spazio 3D, come si sposterebbero numeri reali nello spazio 1D su una linea numerica.
L'addizione vettoriale è definita come la somma dei componenti di due vettori e può essere considerata come il vettore risultante se le frecce dei componenti dei due vettori vengono posizionate "dalla punta alla coda". L'addizione vettoriale viene eseguita con il metodo Add ed è rappresentata dal diagramma a sinistra.
Analogamente, due oggetti vettoriali possono essere sottratti l'uno dall'altro con il metodo Subtract. La sottrazione vettore può essere considerata come direzione dal primo vettore al secondo vettore.
La moltiplicazione vettoriale può essere considerata come lo spostamento del punto finale di un vettore nella sua direzione mediante un determinato fattore di scala.
Spesso è necessario durante la messa in scala di un vettore avere la lunghezza del vettore risultante esattamente uguale al valore in scala. Ciò si ottiene facilmente normalizzando prima un vettore, in altre parole impostando la lunghezza del vettore esattamente uguale ad uno.
c punta ancora nella stessa direzione di a (1, 2, 3), anche se ora ha una lunghezza esattamente uguale a 5.
Nella matematica vettoriale esistono due metodi di addizione che non hanno paralleli chiari con la matematica 1D, il prodotto incrociato e il prodotto punto. Il prodotto incrociato è un mezzo per generare un vettore ortogonale (a 90 gradi) rispetto a due vettori esistenti. Ad esempio, il prodotto incrociato degli assi x e y è l'asse x, sebbene i due vettori di input non debbano essere ortogonali tra loro. Viene calcolato un vettore del prodotto incrociato con il metodo Cross.
Un'ulteriore funzione, sebbene più avanzata di matematica vettoriale, è il prodotto punto. Il prodotto punto tra due vettori è un numero reale (non un oggetto Vector) che è correlato, ma non è esattamente, all'angolo tra due vettori. Una delle proprietà utili del prodotto punto è che il prodotto punto tra due vettori sarà 0 se e solo se sono perpendicolari. Il prodotto punto viene calcolato con il metodo Dot.
Sebbene Dynamo sia in grado di creare una vasta gamma di forme geometriche complesse, le primitive geometriche semplici formano le fondamenta di qualsiasi progettazione computazionale: direttamente espresse nella forma finale progettata o utilizzata come impalcatura dalla quale viene generata una geometria più complessa.
Anche se non è strettamente un elemento di geometria, CoordinateSystem è uno strumento importante per la costruzione della geometria. Un oggetto CoordinateSystem tiene traccia delle trasformazioni geometriche e di posizione, quali rotazione, taglio e messa in scala.
La creazione di un CoordinateSystem centrato in un punto con x = 0, y = 0, z = 0, senza rotazioni, messa in scala o trasformazioni di taglio, richiede semplicemente di chiamare il costruttore Identity:
I CoordinateSystem con trasformazioni geometriche non rientrano nell'ambito di questo capitolo, sebbene un altro costruttore consenta di creare un sistema di coordinate in un punto specifico, CoordinateSystem.ByOriginVectors:
La primitiva geometrica più semplice è un punto, che rappresenta una posizione a zero dimensioni nello spazio tridimensionale. Come detto in precedenza, esistono diversi modi per creare un punto in un particolare sistema di coordinate: Point.ByCoordinates crea un punto con coordinate x, y e z specificate; Point.ByCartesianCoordinates crea un punto con coordinate x, y e z specificate in un sistema di coordinate specifico; Point.ByCylindricalCoordinates crea un punto su un cilindro con raggio, angolo di rotazione e altezza e Point.BySphericalCoordinates crea un punto su una sfera con raggio e due angoli di rotazione.
In questo esempio sono mostrati i punti creati in diversi sistemi di coordinate:
La successiva primitiva di Dynamo dimensionale maggiore è un segmento di linea, che rappresenta un numero infinito di punti tra due punti finali. Le linee possono essere create specificando esplicitamente i due punti di contorno con il costruttore Line.ByStartPointEndPoint o specificando un punto iniziale, una direzione e una lunghezza in tale direzione, Line.ByStartPointDirectionLength.
Dynamo dispone di oggetti che rappresentano i tipi più elementari di primitive geometriche in tre dimensioni: cuboidi, creati con Cuboid.ByLengths; coni, creati con Cone.ByPointsRadius e Cone.ByPointsRadii; cilindri, creati con Cylinder.ByRadiusHeight e sfere create con Sphere.ByCenterPointRadius.
Molti degli esempi riportati finora si sono concentrati sulla costruzione di geometria dimensionale maggiore a partire da oggetti dimensionali minori. I metodi di intersezione consentono a questa geometria dimensionale maggiore di generare oggetti dimensionali minori, mentre i comandi di taglio e selezione del taglio consentono di modificare pesantemente le forme geometriche mediante script dopo la creazione.
Il metodo Intersect è definito su tutti gli elementi della geometria in Dynamo, ovvero, in teoria qualsiasi elemento della geometria può essere intersecato con qualsiasi altro elemento della geometria. Naturalmente alcune intersezioni sono insignificanti, come le intersezioni che coinvolgono i punti, poiché l'oggetto risultante sarà sempre il punto di input stesso. Le altre possibili combinazioni di intersezioni tra gli oggetti sono descritte nel seguente grafico, in cui è illustrato il risultato di diverse operazioni di intersezione:
Nel semplicissimo esempio riportato di seguito è mostrata l'intersezione di un piano con una NurbsSurface. L'intersezione genera una serie di NurbsCurve, che può essere utilizzata come qualsiasi altra NurbsCurve.
Il metodo Trim è molto simile al metodo Intersect, in quanto viene definito per quasi ogni elemento della geometria. Tuttavia, esistono molte più limitazioni per Trim rispetto a Intersect.
Qualcosa da notare sui metodi Trim è il requisito di un punto di "selezione", un punto che determina quale geometria eliminare e quali elementi mantenere. In Dynamo viene trovata ed eliminata la geometria ritagliata più vicina al punto di selezione.
Intersect, Trim e SelectTrim vengono utilizzati principalmente nella geometria dimensionale minore come punti, curve e superfici. La geometria solida, invece, presenta un insieme aggiuntivo di metodi per la modifica della forma dopo la costruzione, sottraendo il materiale in modo simile a Trim e combinando gli elementi insieme per formare un intero più grande.
Il metodo Unione utilizza due oggetti solidi e crea un singolo oggetto solido partendo dallo spazio coperto da entrambi gli oggetti. Lo spazio sovrapposto tra oggetti viene combinato nella forma finale. In questo esempio si combina una sfera e un cuboide in un'unica forma solida sfera-cubo:
Il metodo Difference, come Trim, sottrae il contenuto del solido strumento di input dal solido di base. In questo esempio, viene ritagliata una piccola rientranza da una sfera:
Il metodo Intersect restituisce il solido sovrapposto tra due input solidi. Nel seguente esempio, Difference è stato modificato in Intersect e il solido risultante è il vuoto mancante inizialmente ritagliato:
L'analogia bidimensionale con una NurbsCurve è la NurbsSurface e, come la NurbsCurve di forma libera, le NurbsSurface possono essere costruite con due metodi di base: l'inserimento di un insieme di punti base con l'interpolazione di Dynamo tra di essi e l'indicazione esplicita dei punti di controllo della superficie. Come per le curve a mano libera, le superfici interpolate sono utili quando un progettista conosce con precisione la forma che una superficie deve assumere o se un progetto richiede che la superficie attraversi punti di vincolo. Dall'altra parte, le superfici create mediante punti di controllo possono essere più utili per la progettazione esplorativa in diversi livelli di levigatezza.
Per creare una superficie interpolata, è sufficiente generare una raccolta bidimensionale di punti che si avvicinano alla forma di una superficie. La raccolta deve essere rettangolare, ovvero non irregolare. Il metodo NurbsSurface.ByPoints costruisce una superficie da questi punti.
Le NurbsSurface di forma libera possono essere create anche specificando i punti di controllo sottostanti di una superficie. Come per le NurbsCurve, i punti di controllo possono essere considerati come la rappresentazione di una mesh quadrilatera con segmenti retti, che, a seconda del grado della superficie, viene levigata nella forma della superficie finale. Per creare una NurbsSurface tramite punti di controllo, includere due parametri aggiuntivi a NurbsSurface.ByPoints, indicando i gradi delle curve sottostanti in entrambe le direzioni della superficie.
È possibile aumentare il grado della NurbsSurface per modificare la geometria della superficie risultante:
Così come è possibile creare le superfici interpolando un insieme di punti di input, è possibile crearle interpolando un insieme di curve di base. Questa procedura è denominata loft. Viene creata una curva di loft utilizzando il costruttore Surface.ByLoft, con una raccolta di curve di input come unico parametro.
Le superfici di rivoluzione sono un tipo aggiuntivo di superficie creato tramite l'estrusione di una curva di base attorno ad un asse centrale. Se le superfici interpolate sono l'analogia bidimensionale con le curve interpolate, le superfici di rivoluzione sono l'analogia bidimensionale con i cerchi e gli archi.
Le superfici di rivoluzione sono specificate da una curva di base, che rappresenta lo "spigolo" della superficie; l'origine di un asse, il punto base della superficie; la direzione di un asse, la direzione centrale; un angolo iniziale di sweep e un angolo finale di sweep. Questi vengono utilizzati come input per il costruttore Surface.Revolve.
Nelle progettazioni computazionali, le curve e le superfici vengono spesso utilizzate come l'impalcatura sottostante per costruire la geometria successiva. Per poter utilizzare questa geometria iniziale come base per la geometria successiva, lo script deve essere in grado di estrarre qualità quali la posizione e l'orientamento nell'intera area dell'oggetto. Sia le curve che le superfici supportano questa estrazione, che è denominata parametrizzazione.
Tutti i punti su una curva possono essere considerati come un parametro unico compreso tra 0 e 1. Se si desidera creare una NurbsCurve basata su diversi punti di controllo o interpolati, il primo punto avrà il parametro 0 e l'ultimo punto avrà il parametro 1. Non è possibile sapere in anticipo quale sia l'esatto parametro qualunque sia il punto intermedio, il che potrebbe sembrare una limitazione grave, tuttavia ciò è mitigato da una serie di funzioni di utilità. Le superfici hanno una parametrizzazione simile a quella delle curve, anche se con due parametri invece di uno, denominati u e v. Se si desidera creare una superficie con i seguenti punti:
p1 avrebbe il parametro u = 0 v = 0, mentre p9 avrebbe i parametri u = 1 v = 1.
La parametrizzazione non è particolarmente utile per determinare i punti utilizzati per generare le curve; il suo uso principale è determinare le posizioni dei punti intermedi generati dai costruttori NurbsCurve e NurbsSurface.
Le curve hanno un metodo PointAtParameter, che utilizza un singolo argomento doppio compreso tra 0 e 1 e restituisce l'oggetto Point in corrispondenza di tale parametro. Ad esempio, questo script trova i Point in corrispondenza dei parametri 0, .1, .2, .3, .4, .5, .6, .7, .8, .9 e 1:
Analogamente, le superfici hanno un metodo PointAtParameter che utilizza due argomenti, il parametro u e v del Point generato.
Sebbene l'estrazione di punti singoli su una curva e una superficie possa essere utile, gli script spesso richiedono la conoscenza delle particolari caratteristiche geometriche in corrispondenza di un parametro, ad esempio qual è la direzione della curva o della superficie. Il metodo CoordinateSystemAtParameter non solo individua la posizione, ma anche un CoordinateSystem orientato in corrispondenza del parametro di una curva o superficie. Ad esempio, il seguente script estrae i CoordinateSystem orientati lungo una superficie di rivoluzione e utilizza l'orientamento dei CoordinateSystem per generare linee che si staccano dalla normale alla superficie:
Come detto in precedenza, la parametrizzazione non è sempre uniforme per tutta la lunghezza di una curva o di una superficie, ovvero il parametro 0.5 non corrisponde sempre al punto medio e 0.25 non sempre corrisponde al punto un quarto lungo una curva o superficie. Per ovviare a questa limitazione, le curve dispongono di un insieme aggiuntivo di comandi di parametrizzazione che consentono di trovare un punto in corrispondenza di lunghezze specifiche lungo una curva.
I seguenti script Python generano serie di punti per diversi esempi. È necessario incollarli in un nodo Python Script come segue:
python_points_1
python_points_2
python_points_3
python_points_4
python_points_5
| Classe | CoordinateSystem messo in scala in modo non uniforme | CoordinateSystem tagliato |
|---|---|---|
Arco
No
No
NurbsCurve
Sì
Sì
NurbsSurface
No
No
Cerchio
No
No
Linea
Sì
Sì
Piano
No
No
Punto
Sì
Sì
Poligono
No
No
Uniforme
No
No
Superficie
No
No
Testo
No
No
Mediante: Point
Curva
Piano
Superficie
Uniforme
Su: Curva
Sì
No
No
No
No
Poligono
-
No
Sì
No
No
Superficie
-
Sì
Sì
Sì
Sì
Uniforme
-
-
Sì
Sì
Sì
Con:
Superficie
Curva
Piano
Uniforme
Superficie
Curva
Punto
Punto, curva
Superficie
Curva
Punto
Punto
Punto
Curva
Piano
Curva
Punto
Curva
Curva
Uniforme
Superficie
Curva
Curva
Uniforme
