Parametryzacja geometryczna

W projektach obliczeniowych krzywe i powierzchnie są często używane jako rusztowanie źródłowe do konstruowania kolejnej geometrii. Aby ta wczesna geometria mogła być używana jako fundament późniejszej geometrii, skrypt musi być w stanie wyodrębnić cechy, takie jak położenie i orientacja, z całej powierzchni obiektu. Zarówno krzywe, jak i powierzchnie obsługują to wyodrębnianie. Nazywa się to parametryzacją.

Wszystkie punkty na krzywej można uznać za mające niepowtarzalny parametr z zakresu od 0 do 1. Jeśli chcemy utworzyć krzywą NurbsCurve w oparciu o kilka punktów kontrolnych lub punktów interpolowanych, pierwszy punkt miałby parametr 0, a ostatni punkt — parametr 1. Nie można wcześniej ustalić, jaką dokładnie wartość ma parametr dowolnego z punktów pośrednich, co może wydawać się ograniczeniem, ale jest to nieco równoważone przez szereg funkcji narzędziowych. Powierzchnie mają podobną parametryzację jak krzywe, ale mają dwa parametry zamiast jednego: u i v. Jeśli zechcemy utworzyć powierzchnię z następującymi punktami:

pts = [ [p1, p2, p3],
        [p4, p5, p6],
        [p7, p8, p9] ];

p1 ma parametry u = 0 v = 0, natomiast p9 ma parametry u = 1 v = 1.

Parametryzacja nie jest szczególnie przydatna podczas określania punktów używanych do generowania krzywych. Jej głównym zastosowaniem jest określenie położeń punktów pośrednich generowanych przez konstruktory krzywych NurbsCurve i powierzchni NurbsSurface.

Krzywe mają metodę PointAtParameter, która przyjmuje pojedynczy argument podwójny z zakresu od 0 do 1 i zwraca obiekt punktu o tym parametrze. Na przykład ten skrypt wyszukuje punkty o parametrach 0, 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9 i 1:

pts = {};
pts[0] = Point.ByCoordinates(4, 0, 0);
pts[1] = Point.ByCoordinates(6, 0, 1);
pts[2] = Point.ByCoordinates(4, 0, 2);
pts[3] = Point.ByCoordinates(4, 0, 3);
pts[4] = Point.ByCoordinates(4, 0, 4);
pts[5] = Point.ByCoordinates(3, 0, 5);
pts[6] = Point.ByCoordinates(4, 0, 6);

crv = NurbsCurve.ByPoints(pts);

pts_at_param = crv.PointAtParameter(0..1..#11);

// draw Lines to help visualize the points
lines = Line.ByStartPointEndPoint(pts_at_param,
    Point.ByCoordinates(4, 6, 0));

Podobnie w przypadku powierzchni istnieje metoda PointAtParameter, która pobiera dwa argumenty — parametry u i v generowanego punktu.

Wyodrębnianie poszczególnych punktów na krzywej i powierzchni może być przydatne, ale skrypty często wymagają znajomości konkretnych cech geometrycznych przy danym parametrze, na przykład określających, w jakim kierunku skierowana jest krzywa lub powierzchnia. Metoda CoordinateSystemAtParameter umożliwia nie tylko znalezienie położenia, ale również zorientowanego obiektu CoordinateSystem przy danym parametrze krzywej lub powierzchni. Na przykład poniższy skrypt wyodrębnia zorientowane obiekty CoordinateSystem wzdłuż obróconej powierzchni i używa orientacji obiektów CoordinateSystem do generowania linii, które są przylegające prostopadle do powierzchni:

pts = {};
pts[0] = Point.ByCoordinates(4, 0, 0);
pts[1] = Point.ByCoordinates(3, 0, 1);
pts[2] = Point.ByCoordinates(4, 0, 2);
pts[3] = Point.ByCoordinates(4, 0, 3);
pts[4] = Point.ByCoordinates(4, 0, 4);
pts[5] = Point.ByCoordinates(5, 0, 5);
pts[6] = Point.ByCoordinates(4, 0, 6);
pts[7] = Point.ByCoordinates(4, 0, 7);

crv = NurbsCurve.ByPoints(pts);

axis_origin = Point.ByCoordinates(0, 0, 0);
axis = Vector.ByCoordinates(0, 0, 1);

surf = Surface.ByRevolve(crv, axis_origin, axis, 90,
    140);

cs_array = surf.CoordinateSystemAtParameter(
    (0..1..#7)<1>, (0..1..#7)<2>);

def make_line(cs : CoordinateSystem) {
	lines_start = cs.Origin;
    lines_end = cs.Origin.Translate(cs.ZAxis, -0.75);

    return = Line.ByStartPointEndPoint(lines_start,
        lines_end);
}

lines = make_line(Flatten(cs_array));

Jak wspomniano wcześniej, parametryzacja nie zawsze jest jednorodna na całej długości krzywej lub powierzchni, co oznacza, że parametr 0,5 nie zawsze odpowiada punktowi środkowemu, a 0,25 nie zawsze odpowiada punktowi w jednej czwartej odległości wzdłuż krzywej lub powierzchni. Aby można było obejść to ograniczenie, krzywe mają dodatkowy zestaw poleceń parametryzacji, które umożliwiają znalezienie punktu na określonych długościach wzdłuż krzywej.